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1991年全国初中数学联赛第一试
注释:“√”表示根号。
一、选择题
1.设等式√( a(x - a) ) + √( a( y- a) ) = √(x - a) -√(y - a)在实数范围内成立,其中a,x,y是两两不同的实数,
则(3x2 + xy - y2)/(x2 - xy + y2)的值是
(A)3;(B)1/3;(C)2;(D)5/3.
2.如图,AB∥EF∥CD,已知 AB=20,CD=80,BC=100,那么EF的值是
(A)10;(B)12;(C)16;(D)18.
3.方程 x2 - |x| + 1 = 0 的解是
(A)(1±√5)/2;(B)(-1±√5)/2;(C)(1±√5)/2 或 (-1±√5)/2;(D)±(-1±√5)/2
4.已知:x = 19911/n - 1991-1/n(n是自然数).那么( x-√(1+x2) )n 的值是
(A)1991-1;(B)-1991-1;(C)(-1)n1991;(D)(-1)n1991-1
5.若 1×2×3×…×99×100 = 12n×M,其中 M 为自然数,n为使得等式成立的最大的自然数,则 M
(A)能被2整除,但不能被3整除;(B)能被3整除,但不能被2整除;
(C)能被4整除,但不能被3整除;(D)不能被3整除,也不能被2整除.
6.若a,c,d是整数,b是正整数,且满足a+b=c,b+c=d,c+d=a,那么 a+b+c+d 的最大值是
(A)-1;(B)-5;(C)0;(D)1.
7.正方形OPQR内接于ΔABC(P、Q在BC上,R在AC上,O在AB上).已知ΔAOR、ΔBOP和ΔCRQ的面积分别是 1,3,1,那么,正方形OPQR的边长是
(A)√2;(B)√3;(C)2;(D)3.
8.在锐角ΔABC中,AC = 1,AB = c,∠A = 60o,ΔABC的外接圆半径R≤1,则
(A)1/2<c<2;(B)0<c≤1/2;(C)c>2; (D)c=2.
二、填空题
1.E 是平行四边形ABCD中BC边的中点,AE 交对角线 BD 于 G,如果ΔBEG 的面积是1,则平行四边形ABCD的面积是________.
2.已知关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0 没有实数解.甲由于看错了二次项系数,误求得两根为2和4;乙由于看错了某一项系数的符号,误求得两根为-1和4,那么,(2b+3c)/a = _______.
3.设m,n,p,q为非负数,且对一切x>0,(x+1)m/xn - 1=(x+1)p/xq恒成立,则(m2+2n+p)2q = _______.
4.四边形ABCD中,∠ABC = 125o,∠BCD = 120o,AB = √6,BC = 5 - √3,CD = 6,则 AD = ________.
 
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