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2000年全国初中数学联赛第二试
一、(本题满分20分)
设p是实数,二次函数y=x2-2px-p的图象与x轴有两个不同的交点A(a,0),B(b,0)。
(1)求证:2pa+b2+3p>0;
(2)若A、B间的距离不超过|2p-3|,求p的最大值。
二、(本题满分25分)
EFGH是正方形ABCD的内接四边形(E、F、G、H依次在AB、BC、CD、DA上),两条对角线EG和FH所夹的锐角为θ,且∠BEG与∠CFH都是锐角。已知EG=k,FH=j,四边形EFGH的面积为S。
(1)求证:sinθ= 2S/(kj);
(2)试用k,j,S表示正方形ABCD的面积。
三、(本题满分25分)
设关于x的二次方程(k2 - 6k + 8)x2+(2k2 - 6k - 4)x + k2 = 4 的两根都是整数,求满足条件的所有实数k的值。
 
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