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2001年全国初中数学联赛第二试(草稿,未完成)
一、在直角坐标系中有三点A(0,1),B(1,3),C(2,6);已知直线y=ax+b上横坐标为0、1、2的点分别为D、E、F。试求a,b的值使得AD2+BE2+CF2达到最大值。
二、(1)证明:若x取任意整数时,二次函数y=ax2+bx+c总取整数值,那么a,a-b,c都是整数;
(2)写出上述命题的逆命题,并判断真假,且证明你的结论。
三、如图,D,E是△ABC边BC上的两点,F是BA延长线上的一点,∠DAE=∠CAF。
(1)判断△ABD的外接圆与△AEC的外接圆的位置关系,并证明你的结论;
(2)若△ABD的外接圆的半径的2倍,BC=6,AB=4,求BE的长。
附录:
一、求所有的正整数a,b,c,使得关于x的方程,,
的所有的根都是正整数。
二、在锐角△ABC中,AD⊥BC,D为垂足,DE⊥AC,E为垂足,DF⊥AB,F为垂足。O为△ABC的外心。
求证:(1)△AEF∽△ABC;
(2)AO⊥EF
三、在四边形ABCD中,AC与BD交于点O,直线平行于BD,且与AB、DC、BC、AD及AC的延长线分别相交于点M、N、R、S和P。
求证:PM·PN=PR·PS
 
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