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1996年全国高中数学联合竞赛试题
(第一试)
一、选择题(本题满分36分,每小题6分)
1.把圆 x2+(y-1)2 =1与椭圆 9x2+(y+1)2 = 9 的公共点, 用线段连接起来的图形是 ___ .
(A) 线段 (B) 不等边三角形 (C) 等边三角形 (D) 四边形
2.等比数列{an}的首项a1=1536, 公比是q=-(1/2).用 Tn表示它的前n项之,则 Tn(nN)最大值的是 ___.
(A) T9 (B) T11 (C) T12 (D) T13
3.存在整数n,使是整数的质数p ___.
(A) 不存在 (B) 只有一个 (C) 多于一个,但为有限个 (D)有无穷多个
4.设x(–1/2,0),以下三个数: a1=cos(sin xpai), a2=sin(cos xpai), a3=cos (x+1)pai的大小关系是 ___.[:pai为圆周率]
(A) a3 < a2 < a1 (B) a1 < a3 < a2 (C) a3 < a1 < a2 (D) a2 < a3 < a1
5.如果在区间[1, 2]上, 函数f(x) = x2 + px + q与g(x) = x + (1/x)2在同一点取相同的最小值, 那么f(x)在该区间上的最大值是 ___.
(A) (B) (C) (D)以上答案都不对
6.高为8的圆台内有一个半径为2的球O1, 球心O1在圆台的轴上. 球O1与圆台上底面、侧面都相切. 圆台内可再放入一个半径为3的球O2, 使得球O2与球O1、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点, 除球O2, 圆台内最多还能放入半径为3的球的个数是 ___.
(A)1  (B)2  (C)3  (D)4
二、 填空题(本题满分54分,每小题9分)
1.集合{x| –1<=log(1/x)10<–(1/2) , xN}的真子集的个数是________.[:这里的N不包括自然数0]
2.复平面上非零复数z1z2在以i为圆心1为半径的圆上,z1z2的实部为零,z1的辐角主值为 ,则z2 = ____________.
3.曲线C的极坐标方程是 r=1+cos, 点A的极坐标是(2, 0). 曲线C在它所在的平面内绕A 旋转一周, 则它扫过的图形的面积是______.
4.已知将给定的两个全等的三棱锥的底面粘在一起, 恰得到一个所有二面角都相等的六面体, 并且该六面体的最短棱的长为2, 则最远的两个基本点顶点的距离是__________.
5.从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色.将一个正方体的六个面染色, 每面恰染一种颜色, 每两个具有公共棱的面染成不同颜色.则不同的染色方案共有_____________种. (注:如果我们对两个相同的正方体染色后,可以通过适当的翻转,使得两个正方体的上、下、左、右、前、后六个对应面的染色都相同,那么,我们就说这两个正方体的染色方案相同).
6.在直角坐标平面上,以(199,0)为圆心,以199为半径的圆周上,整点(即横、纵坐标皆为整数的点)的个数为_______________.
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