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1997年全国高中数学联合竞赛试题
( 第一试 )
一、选择题(每小题6分,共36分)
1.已知数列{}满足,,记则下列结论正确的是
(A),   (B)
(C),   (D)
2.如图,正四面体ABCD中,E在棱AB上,F在棱CD上,使得,记其中表示EF与AC所成的角,表示EF与BD所成的角,则
(A)在(0,+)单调增加
(B)在(0,+)单调减少
(C)在(0,1)单调增加,而在(1,+)单调减少
(D)在(0,+)为常数
3. 设等差数列的首项及公差均为非负整数,项数不少于3,且各项的和为972,则这样的数列共有
(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)5个
4.在平面直角坐标系中,若方程表示的曲线为椭圆,则 m 的取值范围为
(A)(0,1) (B)(1,+) (C)(0,5) (D)(5,+)
5.设,则:
(A) (B)
(C) (D)
6.如果空间三条直线a,b,c两两成异面直线,那么与a,b,c都相交的直线有:
(A) 0条 (B) 1条 (C)多于1 的有限条 (D) 无穷多条
二、 填空题(每小题9分,共54分)
1.设x,y为实数,且满足,则 x+y = ______.
2.过双曲线的右焦点作直线 l 交双曲线于A、B两点,若实数使得|AB| =的直线 l 恰有3条,则=_____ .
3.已知复数z满足,则z的幅角主值范围是 ___________ .
4.已知三棱锥S-ABC的底面是以AB为斜边的等腰三角形,SA=SB=SC=2,AB=2,设S、A、B、C四点均在以O为球心的某个球面上,则点O到平面ABC的距离为 _____.
5.设ABCDEF为正六边形,一只青蛙开始在顶点A处,它每次可随意地跳到相邻两顶点之一.若在5次之内跳到D点,则停止跳动;若5次之内不能到达D点,则跳完5次也停止跳动,那么这只青蛙从开始到停止,可能出现的不同跳法共 ______ 种.
6.设a =lgz+lg[x(yz)-1+1],b =lgx-1+lg(xyz+1),c =lgy+lg[(xyz)-1+1],记a,b,c中最大数为M,则M的最小值为____ .
三、(本题满分20分)
xyz,且x+y+z =,求乘积 cos x sin y cos z 的最大值和最小值.
四、(本题满分20分)
设双曲线xy=1的两支为C1,C2(如图),正三角形PQR的三顶点位于此双曲线上.
(1)求证:P、Q、R不能都在双曲线的同一支上;
(2)设P(-1,-1)在C2上, Q、R在C1上,求顶点Q、R的坐标.
五、(本题满分20分)
设非零复数a1a2a3a4a5满足

其中S为实数且|S|≤2.
求证:复数a1a2a3a4a5在复平面上所对应的点位于同一圆周上.
 
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