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1999年全国高中数学联合竞赛试题
第一试
一. 选择题(满分36分,每小题6分)
1. 给定公比为q(q≠1)的等比数列{an},设b1=a1+a2+a3,b2=a4+a5+a6,…,bn=a3n-2+a3n-1+a3n,…,则数列{bn}( )
(A)是等差数列  (B)是公比为q的等比数列  (C)是公比为q3的等比数列  (D)既非等差数列也非等比数列
2. 平面直角坐标系中,纵、横坐标都是整数的点叫做整点,那么,满足不等式 (|x|-1)2+(|y|-1)2<2的整点(x,y)的个数是( )
(A)16    (B)17    (C)18   (D)25
3. 若(log23)x - (log53)x ≥ (log23)-y - (log53)-y,则( )
(A)x-y≥0    (B)x+y≥0    (C)x-y≤0    (D)x+y≤0
4. 给定下列两个关于异面直线的命题:
命题Ⅰ:若平面a上的直线a与平面b上的直线b为异面直线,直线c是a与b的交线,那么c至多与a,b中的一条相交;
命题Ⅱ:不存在这样的无穷多条直线,它们中的任意两条都是异面直线。
那么,( )
(A)命题Ⅰ正确,命题Ⅱ不正确   (B)命题Ⅱ正确,命题Ⅰ不正确   (C)两个命题都正确   (D)两个命题都不正确
5. 在某次乒乓球单打比赛中,原计划每两名选手恰比赛一场,但有3名选手各比赛了2场之后就退出了,这样,全部比赛只进行了50场。那么,在上述3名选手之间比赛的场数是( )
(A)0    (B)1    (C)2    (D)3
6. 已知点A(1,2),过点(5,-2)的直线与抛物线y2=4x交于另外两点B,C,那么,△ABC是( )
(A)锐角三角形    (B)钝角三角形    (C)直角三角形    (D)答案不确定
二. 填空题(满分54分,每小题9分)
1. 已知正整数n不超过2000,并且能表示成不少于60个连续正整数之和,那么,这样的n的个数是___________.
2. 已知θ=arctg(5/12),那么复数z=(cos2θ+isin2θ)/(239+i)的辐角主值是__________.
3. 在△ABC中,记BC=a,CA=b,AB=c,若9a2+9b2-19c2=0,则ctgC/(ctgA+ctgB)=__________.
4. 已知点P在双曲线x2/16-y2/9上,并且P到这条双曲线的右准线的距离恰是P到这条双曲线的两个焦点的距离的等差中项,那么,P的横坐标是_____.
5. 已知直线ax+by+c=0中的a,b,c是取自集合{-3,-2,-1,0,1,2,,3}中的3个不同的元素,并且该直线的倾斜角为锐角,那么,这样的直线的条数是_______.
6. 已知三棱锥S-ABC的底面是正三角形,A点在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心,二面角H-AB-C的平面角等于30°, SA=2√3。那么三棱锥S-ABC的体积为__________.[注:√表示根号]
三、(满分20分)已知当x∈[0,1]时,不等式x2cosθ-x(1-x)+(1-x)2sinθ > 0恒成立,试求θ的取值范围.
四、(满分20分)给定A(-2,2),已知B是椭圆上的动点,F是左焦点,当|AB|+5|BF|/3取最小值时,求B的坐标.
五、(满分20分)给定正整数n和正数M,对于满足条件a12 + an+12≤M的所有等差数列a1,a2,a3,…,试求S=an+1 + an+2 + … +a2n+1的最大值.
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