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2000年全国高中数学联赛试题
第一试
一、选择题(本题满分36分,每小题6分)
1.设全集是实数,若A={x|√(x-2)≤0},B={x|10x2 - 2 = 10x},则A∩B是(   )
(A){2}   (B){-1}   (C){x|x≤2}   (D)空集   [注:√表示根号]
2.设sina>0,cosa<0,且sin(a/3)>cos(a/3),则a/3的取值范围是(   )
(A)(2kπ+π/6,2kπ+π/3),k∈Z   (B)(2kπ+π/6,2kπ-π/3),k∈Z 
(C)(2kπ+5π/6,2kπ+π),k∈Z   (D)(2kπ+π/4,2kπ+π/3)∪(2kπ+5π/6,2kπ+π),k∈Z
3.已知点A为双曲线x2-y2=1的左顶点,点B和点C在双曲线的右分支上,△ABC是等边三角形,则△ABC的面积是(   )
(A)√3/3    (B)3√3/2     (C)3√3     (D)6√3
4.给定正数p,q,a,b,c,其中p≠q,若p,a,q是等比数列,p,b,c,q是等差数列,则一元二次方程bx2-2ax+c=0(   )
(A)无实根  (B)有两个相等实根  (C)有两个同号相异实根  (D)有两个异号实根
5.平面上整点(纵、横坐标都是整数的点)到直线y=(5/3)x+4/5的距离中的最小值是(   )
(A)√34/170     (B)√34/85     (C)1/20     (D)1/30
6.设ω = cos(π/5)+isin(π/5),则以ω,ω379为根的方程是(   )
(A)x4+x3+x2+x+1=0         (B) x4-x3+x2-x+1=0
(C) x4-x3-x2+x+1=0         (D) x4+x3+x2-x-1=0
二、填空题(本题满分54分,每小题9分)
7.arcsin(sin2000°)=__________.
8.设an是(3-√x)n的展开式中x项的系数(n=2,3,4,…),则(32/a2+33/a3+…+3n/an)的极限=________.
9.等比数列a + log23,a + log43,a + log83的公比是____________.
10.在椭圆x2/a2+y2/b2(a>b>0)中,记左焦点为F,右顶点为A,短轴上方的端点为B.若该椭圆的离心率是(√5 - 1)/2,则∠ABF=____.
11.一个球与正四面体的六条棱都相切,若正四面体的棱长为a,则这个球的体积是________.
12.如果:(1)a,b,c,d都属于{1,2,3,4};(2)a≠b,b≠c,c≠d,d≠a;(3)a是a,b,c,d中的最小值,那么,可以组成的不同的四位数的个数是_________.
三、解答题(本题满分60分,每小题20分)
13.设Sn=1+2+3+…+n,求f(n)=Sn/((n+32)Sn+1)的最大值.
14.若函数f(x)=(-1/2)x2+13/2在区间[a,b]上的最小值为2a,最大值为2b,求[a,b].
15.已知C0:x2+y2=1和C1:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)。试问:当且仅当a,b满足什么条件时,对C1上任意一点P,均存在以P为项点,与C0外切,与C1内接的平行四边形?并证明你的结论。
 
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