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2002年全国高中数学联赛试题
(第一试)
一、 选择题(本题满分36分,每小题6分)
1、函数f(x)=log1/2(x2-2x-3)的单调递增区间是(  )。
(A)(-∞,-1)  (B)(-∞,1)  (C)(1,+∞)  (D)(3,+∞)
2、若实数x,y满足(x+5)2+(y-12)2=142,则x2+y2的最小值为(   )。
(A)2   (B)1   (C)√3    (D)√2
3、函数f(x)=x/(1-2x)-x/2(   )
(A)是偶函数但不是奇函数(B)是奇函数但不是偶函数(C)既是偶函数又是奇函数(D)既不是偶函数也不是奇函数
4、直线x/4+y/3=1与椭圆x2/16+y2/9=1相交于A,B两点,该椭圆上点P,使得ΔPAB面积等于3,这样的点P共有(  )。
(A)1个    (B)2个    (C)3个    (D)4个
5、已知两个实数集合A={a1,a2,…,a100}与B={b1,b2,…,b50},若从A到B的映射f使得B中每个元素都有原象,且f(a1)≤f(a2)≤…≤f(a100)则这样的映射共有(   )。
(A)    (B)    (C)     (D)
6、由曲线x2=4y,x2=-4y,x=4,x=-4围成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V1;满足x2+y2≤16,x2+(y-2)2≥4,x2+(y+2)2≥4的点(x,y)组成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V2,则(   )。
(A)V1=(1/2)V2         (B)V1=(2/3)V2
(C)V1=V2            (D)V1=2V2
二、填空题(本题满分54分,每小题9分)
7、已知复数Z1,Z2满足∣Z1∣=2,∣Z2∣=3,若它们所对应向量的夹角为60°,则∣(Z1+Z2)/(Z1+Z2)∣=   
8、将二项式的展开式按x的降幂排列,若前三项系数成等差数列,则该展开式中x的幂指数是整数的项共有    个。
9、如图,点P1,P2,…,P 10分别是四面体顶点或棱的中点,那么在同一平面上的四点组(P1,Pi,Pj,Pk)(1<i<j<k≤10)有    个。
10、已知f(x)是定义在R上的函数,f(1)=1且对任意x∈R都有f(x+5)≥f(x)+5,f(x+1)≤f(x)+1。若g(x)=f(x)+1-x,则g(2002)=    
11、若log4(x+2y)+log4(x-2y)=1,则∣x∣-∣y∣的最小值是    
12、使不等式sin2x+acosx+a2≥1+cosx对一切x∈R恒成立的负数a的取值范围是    
三、解答题(本题满分60分,每小题20分)
13、已知点A(0,2)和抛物线y2=x+4上两点B,C使得AB⊥BC,求点C的纵坐标的取值范围。
14、如图,有一列曲线P0,P1,P2……,已知P0所围成的图形是面积为1的等边三角形,Pk+1是对Pk进行如下操作得到:将Pk的每条边三等分,以每边中间部分的线段为边,向外作等边三角形,再将中间部分的线段去掉(k=0,1,2,)。记Sn为曲线Pn所围成图形的面积。……
(1)求数列{Sn}的通项公式;
(2)求Sn.
15、设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R,a≠0)满足条件:
(1)当x∈R时,f(x-4)=f(2-x),且f(x)≥x;
(2)当x∈(0,2)时,f(x)≤((x+1)/2)2;
(3)f(x)在R上的最小值为0.
求最大的m(m>1),使得存在t∈R,只要x∈[1,m],就有f(x+t)≤x。

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