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2003年全国高中数学联赛
第一试
一、选择题(本题满分36分,每小题6分)
1、设锐角θ使关于x的方程x2+4xcosθ+cotθ=0有重根,则θ的弧度数为()
A.π/6 B.π/12或5π/12 C.π/6或5π/12 D.π/12
2、已知M={(x,y)|x2+2y2=3},N={(x,y)|y=mx+b}。若对所有m∈R均有M∩N不是空集,则b的取值范围是()
A.[-√6/6,√6/6] B.(-√6/6,√6/6) C.(-2√3/3,2√3/3]D.[-2√3/3,2√3/3]
3、不等式 √(log2x - 1) + (1/2)(log1/2x3 + 2) > 0 的解集为()
A.[2,3) B.(2,3] C.[2,4) D.(2,4]
4、设O点在三角形ABC内部,且有(0→A)+2(0→B)+3(O→C)=(0→0),则三角形ABC和三角形A0C的面积与的面积的比为()
[ 注释:(0→X)表示从O到X的向量,特别地(0→0)表示零向量 ]
A.2 B.3/2 C.3 D.5/3
5、设三位数n的百位、十位、个位数字依次为a、b、c,若以a,b,c为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形,则这样的三位数n有()
A.45个 B.81个 C.165个 D.216个
6、顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形,A是底面圆周上的点,B是底面圆内的点,O为底面圆的圆心,AB垂直于OB,垂足为B,OH垂直于PB,垂足为H,且PA=4,C为PA的中点,则当三棱锥O-HPC的体积最大时,OB的长是()
A.√5/3 B.2√5/3 C.√6/3 D.2√6/3
二、填空题(本题满分54分,每小题9分)
7、在平面直角坐标系xoy中,函数 f(x) = a×sin ax + cos ax (a>0)在一个最小正周期长的区间上的图像与函数 g(x) = √(a2+1) 的图像所围成的封闭图形的面积是_____。
8、设函数f:R→R,满足f(0)=1且对任意实数x,y都有f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2,则f(y)=_____。
9、正方体中ABCD-A1B1C1D1,二面角A-BD1-A1的度数是_____。
10、设p是给定的奇质数,正整数k使得√(k2-pk)也是一个正整数,则k=_____。
11、已知数列a0,a1,a2,…,an满足关系式(3-an-1)(6+an)=18,且a0=3。设 Xi=1/ai 则X0+X1+X2+…+Xn的值是_____。
12、在平面直角坐标系XOY中,给定两点M(-1,2)和N(1,4),点P在X轴上移动,当∠MPN取最大值时,点P的横坐标为_____。
三、解答题(本题满分60分,每小题20分)
13、一项“过关游戏”规则规定:在第n关要抛掷一颗骰子n次,如果这n次抛掷所出现的点数之和大于2n,则算过关。
问:(Ⅰ)某人在这项游戏中最多能过几关?
(Ⅱ)他连过前三关的概率是多少?(注:骰子是一个在各面上分别有1,2,3,4,5,6点数的均匀正方体。抛掷骰子落地静止后,向上一面的点数为出现点数。)
14、在平面直角坐标系xoy中,给定三点A(0,3/4),B(-1,0),C(1,0),点P到直线BC的距离是该点到直线AB,AC距离的等比中项。
(Ⅰ)求点P的轨迹方程;
(Ⅱ)若直线L经过△ABC的内心(设为D),且与P点的轨迹恰好有3个公共点,求L的斜率k的取值范围。
15、已知α,β是方程4x2-4tx-1=0 (t∈R)的两个不等实根,函数f(x)=(2x-t)/(x2+1)的定义域为[α,β]。
(Ⅰ)求g(t) = max f(x) - min f(x);
(Ⅱ)证明:对于 ui∈(0,π/2) (i=1,2,3),G(x)=1/g(tan x)。若 sin u1 + sin u2 + sin u3 = 1,则G(u1)+G(u2)+G(u2)<3√6/4。
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