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1992年全国高中数学联赛第二试
一、(35分)设A1A2A3A4为⊙O的内接四边形,H1,H2,H3,H4依次为△A2A3A4,△A1A3A4,△A1A2A4,△A1A2A3的垂心,求证:H1,H2,H3,H4四点在同一个圆上,并定出该圆的圆心位置.

二、(35分)设集合 Sn={1,2,…,n}.若X是Sn的子集,把X中所有数的和称为X的“容量”(规定空集的容量为0),若X的容量为奇(偶)数,则称X为的奇(偶)子集.
1.求证 Sn 的奇子集与偶子集个数相等.
2.求证:当 n≥3 时,Sn 的所有奇子集的容量之和等于所有偶子集的容量之和.
3.当 n≥3 时,求 Sn 的所有奇子集的容量之和.

三、(35分)在平面直角坐标系中,横坐标和纵坐标都是整数的点称为格点,任取6个格点Pi (xi,yi)(i=1,2,3,4,5,6)满足
(1) | xi |≤2,| yi |≤2,(i=1,2,3,4,5,6),
(2) 任何三点不在同一条直线上.
试证:在以Pi (i=1,2,3,4,5,6)为顶点的所有三角形中,必有一个三角形,它的面积不大于2.
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