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1993年全国高中数学联赛第二试
一.(35分) 设一凸四边形ABCD,它的内角中仅有∠D是钝角,用一些直线段将该凸四边形分割成n个钝角三角形,但除去A、B、C、D外,在该四边形的周界上,不含分割出的钝角三角形顶点.试证n应满足的充分必要条件是n≥4.

二.(35分) 设A是一个有n个元素的集合,A的m个子集A1,A2,…,Am两两互不包含. 试证:
(1)≤1; (2)≥m2
其中|Ai|表示Ai所含元素的个数,表示n个不同元素取|Ai|个的组合数.

三.(35分) 水平直线m通过圆O的中心,直线 l⊥m,l与m相交于M,点M在圆心的右侧,直线l上不同的三点A,B,C在圆外,且位于直线m上方,A点离M点最远,C点离M点最近,AP,BQ,CR为圆O的三条切线,P,Q,R为切点.试证:
(1)l与圆O相切时,AB×CR+BC×AP=AC×BQ;
(2)l与圆O相交时,AB×CR+BC×AP<AC×BQ;
(3)l与圆O相离时,AB×CR+BC×AP>AC×BQ.
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