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1998年全国高中数学联合竞赛第二试

一、(50分)如图,O、I 分别为ΔABC的外心和内心,AD是BC边上的高,I在线段OD上。求证:ΔABC的外接圆半径等于BC边上的
旁切圆半径。
注:ΔAB 的BC边上的旁切圆是与边AB、AC的延长线以及边BC都相切的圆。

二、(50分)设 a1,a2, … ,an ;b1,b2, … ,bn∈[ 1,2 ] 且 a12 + a22 + … + an2 = b12 + b22 + … + bn2
设 Xi = ai3/bi 求证:X1 + X2 + … + Xn ≤ 17( a12 + a22 + … + an2 )/10。并问:等号成立的充要条件。

三、对于正整数 a、n ,定义 Fn(a)= q + r ,其中 q、r 为非负整数,a = qn + r ,且 0≤ r < n 。求最大的正整数A,使得存在正整数 n_1 ,n_2 ,n_3 , n_4 ,n_5 ,n_6 ,对于任意的正整数 a ≤A ,都有
Fn_6(Fn_5(Fn_4(Fn_3(Fn_2(Fn_1(a))))))= 1
证明你的结论。

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