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2001年全国高中数学联合竞赛第二试

一.(本题满分50分)
如图,△ABC中,O为外心,三条高AD、BE、CF交于点H,直线ED和AB交于点M,FD和AC交于点N 。
求证:(1) OB⊥DF,OC⊥DE
(2) OH⊥MN。

二、(本题满分50分)
设 xi ≥ 0 ,i∈N+ ,且 ∑1≤i≤n(xi2) + ∑1≤k≤j≤n( √(k/j)×xkxj ) = 1 。
求:∑1≤i≤n xi 的最小值 。

三.(本题满分50分)
将边长为正整数m,n的矩形划分成若干边长均为正整数的正方形.每个正方形的边均平行于矩形的相应边.试求这些正方形边长之和的最小值.

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