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2003年全国高中数学联合竞赛第二试
一、(50分)过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线,切点为A, B 。 所作割线交圆于C, D两点,C在P, D之间。 在弦CD上取一点Q,使 ∠DAQ = ∠PBC 。 求证: ∠DBQ = ∠PAC 。

二、(50分)设三角形的三边长分别是整数 a,b,c 且 a > b > c 。已知:{3^a/104} = {3^b/104} = {3^c/104} 分别为a,b,c)其中 {x} = x - [x],而 [x] 表示不超过 x 的最大整数。求这种三角形周长的最小值。( 3^x 表示3的x次幂,^运算优先于/运算。)

三、(50分) 由n个点和这些点之间的 x 条连线段组成一个空间四边形,其中 n = q2 + q + 1 ,x≥q(q+1)2 + 1 ,q≥2 ,q∈N 。 已知此图中任四点不共面,每点至少有一条连线段,存在一点至少有 q + 2 条连线段. 证明:图中必存在一个空间四边形(即由四点A,B,C,D和四条连线段AB,BC,CD,DA组成的图形)。
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