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1987年中国数学奥林匹克
第二届全国中学生数学冬令营
一、设n为自然数,求方程zn+1 - zn - 1=0有模为1的复根的充份必要条件是n+2可被6整除。
二、把边长为1的正三角形ABC的各边都n等分,过各分点平行于其它两边的直线,将这三角形分成小三角形,和小三角形的顶点都称为结点,在第一结点上放置了一个实数。已知
  i. A、B、C三点上放置的数分别为a、b、c。
  ii. 在每个由有公共边的两个最负三角形组成的菱形之中,两组相对顶点上放置的数之和相等。
试求
  (1)放置最大数的点积放置最小数的点之间的最短距离。
  (2)所有结点上数的总和S。
三、某次体育比赛,每两名选手都进行一场比赛,每场比赛一定决出胜负,通过比赛确定优秀选手,选手A被确定为优秀选手的条件是:对任何其它选手B,或者A胜B,或者存在选手C,C胜B,A胜C。
结果按上述规则确定的优秀选手只有一名,求证这名选手胜所有其它选手。
四、在一个面积为1的正三角形内部,任意放五个点,试证:在此正三角形内,一定可以作三个正三角形盖住这五个点,这三个正三角形的各边分别平行于原三角形的边,并且它们的面积之和不超过0.64。
五、设A1A2A3A4是一个四面体,S1, S2, S3, S4分别是以A1, A2, A3, A4为球心的球,它们两两相切。如果存在一点O,以这点为球心可作一个半径为r的球与S1, S2, S3, S4都相切,还可以作一个半径为R的球积四面体的各棱都相切,求证这个四面体是正四面体。
六、m个互不相同的正偶数与n个互不相同的正奇数的总和为1987,对于所有这样的m与n,问3m+4的最大值是多少?请证明你的结论。
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