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1988年中国数学奥林匹克
第三届全国中学生数学冬令营
  1. 设a1, a2, ... , an是给定的不全为零的实数,r1, r2, ... , rn为实数,如果不等式
    r1(x1-a1)+r2(x2-a2)+...+rn(xn-an)≤√(x12+ x22+ ... + xn2) + √(a12+ a22+ ... + an2)
    对任何实数x1, x2, ... , xn成立,求r1, r2, ... , rn的值。
  2. 设C1、C2为同心圆,C2的半径是C1的半径的2倍,四边形A1A2A3A4内接于C1,将A1A4延长,交圆C2于B1。设A1A2延长线交C2于B2,A2A3延长线交圆C2于B3,A3A4延长线交圆C2于B4。试证:四边形B1B2B3B4的周长2(四边形A1A2A3A4的周长)。并确定等号成立的条件。
  3. 在有限的实数列 a1, a2, ... , an 中,如果一段数 ak, ak+1, ... , ak+m-1 的算术平均值大于1988,那么我们把这段数叫做一条“龙”,并把 ak 叫做这条龙的“龙头”(如果某一项an> 1988,那么单独这一项也叫龙)。
    假设以上的数列中至少存在一条龙,证明:这数列中全体可以作为龙弄的项的算术平均数也必定大于1988。
  4. (1)设三个正实数a、b、c满足(a2+b2+c2)2>2(a4+b4+c4)。
      求证:a、b、c一定是某个三角形的三条边长。
    (2)设n个正实数a1, a2, ... , an满足
    (a12+ a22+ ... + an2)2>(n-1)(a14+ a24+ ... + an4)其中n≥3。
      求证:这些数中任何三个一定是某个三角形的三条边长。
  5. 给出三个四面体AiBiCiDi(i=1, 2, 3),过点Bi、Ci、Di作平面αi、βi、γi(i=1, 2, 3),分别与棱AiBi、AiCi、AiDi垂直(i=1, 2, 3),如果九个平面αi、βi、γi(i=1, 2, 3)相交于一点E,而三点A1、A2、A3在同一直线l上,求三个四面体的外接球面的放条(形状怎样?位置如何?)。
  6. 如n是不小于3的自然数,以f(n)表示不是n的因子的最小自然数,例如f(12)=5。如果f(n) ≥3,又可作f(f(n))。类似地,如果,f( f(n) )≥3,又可作f( f( f(n)))等等。如果f( f(...f(n) ...)) =2,共有k个f,就把k叫做n的“长度”。如果 g(n) 表示n的长度,试对任意自然数n (n≥3),求 g(n) 。并证明你的结论。
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