奥数之家
奥数论坛
简短留言
| 首页 | 竞赛大纲 | 优秀前辈 | 视频提示 | 专题讲座 | 论文锦集 | 综合训练 | 修身养性 | 家教平台 | 奥数论坛 |
 
1989年中国数学奥林匹克
第四届全国中学生数学冬令营
  1. 在半径为1的圆周上,任意给定两个点集A、B,它们都由有限段互不相交的弧组成,其中B的每段的长度都等于 π/m,m 是自然数。用 Aj 表示将集合A反时针方向在圆同上转动 jπ/m 弧度所得的集合(j=1, 2, ...)。
    求证:存在自然数 k,使得 L(Aj∩B)≧L(A)L(B)/(2π)。这里 L(x) 表示组成点集x的互示相交的弧段的长度之和。
  2. 设x1, x2, ... , xn都是正数(n≥2)且x1+ x2+ ... +xn=1。设 Xi = xi/√(1 - xi), Yi = √xi
    求证:X1 + X2 + ... +Xn = ( Y1 + Y2 + ... + Yn)/√(n - 1)
  3. S为复平面上的单位圆周(即模为1的复数的集合),f 为从SS的映射,对于任意S的元素 z,定义 f(1)(z)=f(z),f(2)(z)=f( f(z)),...,f(k)(z)=f( f(k-1)(z) )。如果S的元素c,使得 f(1)(z)≠c,f(2)(c)≠c,...,f(n-1)(c)≠c,f(n)(c)≠c。则称 c为f的n─周期点。设 m 是大于1的自然数,f定义为f(z)=zm,试计算f的1989─周期点的总数。
  4. 设点D、E、F分别在△ABC的三边BC、CA、AB上,且△AEF、△BFD、△CDE的内切圆有相等的半径 r,又以 r0 的 R 分别表示△DEF 和△ABC的内切圆半径。求证:r + r0 = R。
  5. 空间中有1989个点,其中任何三点不共线,把它们分成点数各不相同的30组,在任何三个不同的组中各取一点为顶点作三角形。(对不起,这个题目的最初叙述我还没有找到)
  6. 设f:(1, +∞)→(0, +∞)满足以下条件:对于任意实数x、y>1,及u、v>0,有f(xuyv)≤f(x)1/(4u)f(y)1/(4v)。试确定所有这样的函数。
点击此处查看相关视频讲解
建议使用:IE 6.0及以上版本浏览器。不支持 Netscape浏览器。 本站空间由北京师范大学提供
Copyright © 2005-2007 aoshoo.com All Rights Reserved 滇ICP备05000048号
MSN:shuxvecheng@hotmail.com QQ:316180036 E-mail:aoshoo@sina.com 电话:15810289082