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1990年中国数学奥林匹克
第五届全国中学生数学冬令营
  1. 如下图,在凸四边形ABCD中,AB与CD不平行,圆O1过A、B且与边CD相切于P,圆O2过C,D且与边AB相切于Q,圆O1与O2相交于E、F。求证:EF平分线段PQ的充要条件是BC//AD。
  2. 设x是一个自然数,若一串自然数x0=1, x2, ... , xn=x满足  xi-1<i=1, 2, ...,l,则称{ x0 , x1 , ... , xn}为x的一条因子链。l称为该因子链的长度。L(x)与R(x)分别表示x的最长因子链的长度和最长因子链的条数。对于x=5k×31m×1990n,k、m、n都是自然数,试求L(x)与R(x)。
  3. 设函数f(x)对x>0有定义,且满足条件:
    i.对任何x、y≧0,f(x)f(y)≦x2f(x/2) +y2f(y/x);
    ii. 存在常数M>0,当0≦x≦1时,| f(x) | ≦M。
    求证:f(x)≦x2。
  4. 设a是给定的正整数,A和B是两个实数,试确定方程组:
    x2+y2+z2=(13a)2,x2(Ax2+By2)+y2(Ay2+Bz2)+z2(Az2+Bx2)=(2A+B)(13a)4/3
    有整数解的充份必要条件(用A、B的关系式表示,并予以证明)。
  5. 设X是一个有限集合,法则f使的X的每一个偶子集E(偶数个元素组成的子集)都对应一个实数f(E),满足条件:
    a.存在一个偶子集D,使得f(D)>1990;
    b.对于X的任意两个示相交的偶子集A、B,有f(A∪B)=f(A)+f(B)-1990。 求证:存在X的子集P、Q,满足
    (1) P∩Q是空集,P∪Q=X;
    (2) 对P的任何非空偶子集S,有f(S)>1990
    (3) 对Q的任何偶子集T,有f(T)≦1990。
  6. 凸n边形及n-3条在n边形内不相交的对角线组成的图形称为一个剖分图。求证:当且仅当3|n时,存在一个剖分图是可以一笔划的圈(即可以从一个顶点出发,经过图中各线段恰一次,最后回到出发点)。
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