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1992年中国数学奥林匹克
第七届全国中学生数学冬令营
  1. 设方程 xn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... +a 1x + a0 = 0的系数都是实数,且适合条件0<a0≦a1≦a2≦....≦an-1≦1。已知λ为方程的复数根且适合条件|λ|=1,试证:λn+1=1。
  2. 设x1, x2, ... , xn为非负实数,记 xn+1= x1,a=min{x1, x2, ... , xn},试证

    且等式成立当且仅当 x1 =x2= ... =xn
  3. 在平面上划上一个9×9的方格表,在这上小方格的每一格中都任意填入+1或-1。下面一种改变填入数字的方式称为一次变动;对于任意一个小方格有一条公共边的所有小方格(不包含此格本身)中的数作连乘积,于是每取一个格,就算出一个数,在所有小格都取遍后,再将这些算出的数放入相应的小方格中。试问是否总可以经过有限次变动,使得所有方小方格中的数都变为1?
  4. 凸四边形内接于圆O,对角线AC与BD相交于P,ΔABP与ΔCDP的外接圆相交于P和另一点Q,且O、P、Q三点两两不重合。试证∠OQP=90o
  5. 在有8个顶点的简单图中,没有四边形的图的边数的最大值是多少?
  6. 已知整数序列{a1, a2, ...... }满足条件:
    (1) an+1=3an-3an-1+an-2,n=2, 3, ......
    (2) 2a1= a0+a2-2
    (3) 对任意的自然数m,在序列{a1, a2, ...... }中必有相继的m项ak, ak+1, ... , ak+m-1都为完全平方数
    试证:序列{a1, a2, ...... }的所有项都是完全平方数。
 
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