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1993中国数学奥林匹克
第八届全国中学生数学冬令营 ()
注释:为录入方便,我们采用“_”表示下标运算符号。例如: a_1 表示 a 的下标是 1 ,即 a1
一、此题原稿没有找到。非常抱歉。
二、给定自然数 k 及实数 a > 0,设 f(x) = ax,在条件 k_1 + k_2+ ... + k_n = k,k_i 为自然数其中 1≦r≦k 下,
求 f(k_1) + f(k_2) + ... + f(k_r) 的最大值。
三、设圆 K 和 K_1 同心,它们的半径分别为 R 和 R_1,R_1 > R。四边形 ABCD 内接于圆 K,四边形 A_1B_1C_1D_1内接于圆 K_1,点A_1、B_1、C_1、D_1 分别在射线 CD、DA、AB、BC 上,求证:S_(A_1B_1C_1D_1)/S_(ABCD)≧ (R_1)2/R_2。
四、给定集合 S = {z_1, z_2, ... , z_1993},其中 z_1, z_2, ... , z_1993 是非零复数(可看作平面试的非零向量)。求证可以把 S 中的元素分成若干组,使得:
(1) S中每个元素属于且仅属于其中一组;
(2) 每一组中任一复数与该组所有复数之和的夹角不超过 90o
(3) 将任意两组中复数分别求和,求得和数之间的夹角大于 90o
五、 10人到书店买书,已知:
(1) 每人都买了三种书;
(2) 任何两人所买的书,都至少有一种相同。
问购买人数最多的一种书最(至)少有几人购买?说明理由。
六、 设函数 f:(0, +∞)→(0, +∞) 满足以下条件:对于任意正实数 x、y,有 f(xy) ≦ f(x)f(y)。
试证:对任意的正实数 x 及自然数 n,有 f(xn) ≦ f(x)×( f(x2) ) 1/2 × ... ×( f(xn) )1/n
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