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1994中国数学奥林匹克
第九届全国中学生数学冬令营 ()
一、设 ABCD 是一个梯形(AB//CD),E是线段AB试一点,F是线段CD上一点,线段CE与BF相交于点H,线段ED与AF相交于点G,求证:S_(EHFG) ≦ S_(ABCD) / 4。如果ABCD是一个任意的凸圆边形,同样结论是否成立?请说明理由。
( 注释:这里 "_" 是下标运算符,即:S_(ABCD) 表示 ABCD 的面积)
二、n (n≧4) 个盘子里放有总数不少于 4 的糖块,从任意的两个盘子各取一块糖,放入另一个盘子中,称为一次操作,问能可经过有限次操作,将所有的糖块集中列一个盘子里去?证明你的结论。
三、求适合以下条件的所有函数f:[0, +∞)→[0, +∞),
(1) f(2x)≦2(x+1);
(2) f(x+1) = [ f(x)2 -1]/x。
四、已知 f(z) = C0Zn + C1Zn-1 + C2Zn-2 + ... .+ Cn-1Z + Cn 是一个 n 次复系数多项式,求证:一定存在一个复数 Z0,|Z0|≦1,满足 |f(Z0)|≧|C0|+|Cn|。
五、非常抱歉,我们没有找到此题的原稿。根据我们掌握的资料推测(仅仅是推测)此题可能如下。
(1) C(n,m) = n!/( m!(n-m)! ) ,其中n,m都是非负整数,特别地,C(n,0) = 1。
(2) [(n-k)/2] 表示 (n-k)/2 的整数部份。
(3) f(k) = 2k × C(n,k) × C( (n-k) , [(n-k)/2] )
求证:f(0) + f(1) + f(2) + ... + f(n) = C( (2n+1) , n ) 对任意正整数 n 都成立。
六、 设M为平面试坐标为(P×1994,7P×1994)的点,其中P是素数,求满足下述条件的直角三角形的个数:
(1)三角形的三个顶点都是整点,面且M是直角顶点;
(2)三角形的内心是坐标原点。
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