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1995中国数学奥林匹克
第十届全国中学生数学冬令营 ()
一、设 2n 个实数 a1, a2, ... , an;b1, b2, ... , bn(n≧3) 满足:
(1)a1 + a2+ ... +an = b1 + b2+ ... +bn
(2)0 < a1 = a2,ai + ai+1 = ai+2 (i=1, 2, ..., n-2);
(3)0 < b1 ≦ b2,bi+ bi+1 ≦ bi+2 (i=1, 2, ..., n-2)。
求证:an-1+ an≦ bn-1 + bn
二、设N为自然数集合,f:N→N 适合条件:f(1)=1,对于任何自然数 n 都有
3f(n)f(2n+1) = f(2n)( 1+3f(n) ) 并且 f(2n) < 6 f(n)。
试求方程 f(x) +f(y) = 293,其中 x < y 的所有解。
三、试求

的最小值, 其中x和y是任意整数。
四、空间有四个球,它们的半径分别为2、2、3、3,每个球都与其余3个球外切,另有一个小球与那圆球都外切,求该小球的半径。
五、设 a1, a2, ... , a10 是 10 个两两不同的自然数,它们的和为 1995,试求:a1a2 + a2a3 + ... + a9a10 + a10a1 的最小值。
六、 设 n 是大于1的奇数,已知

i=1, 2, .... , n 其中
k=1, 2, ...。
若正整数 m 满足 x0=xm, 求证:m 是 n 的倍数。

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