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1997中国数学奥林匹克
第十二届全国中学生数学冬令营 ()
一、 设实数 x1,x2,…,x1997 满足如下两个条件:
(1) -1/√3 < x1 < √3;(2) x1 + x2 + … + x1997 = -318√3
求证:x112 + x212+ … + x199712 的最大值和最小值。
二、点P是凸四边形内一点,且P到各顶点的连线与四边形过该点的两条边的夹角均为锐角.递推定义Ak、Bk、Ck和Dk分别为P关于直线Ak-1Bk-1 、Bk-1Ck-1、Ck-1Dk-1、和Dk-1Ak-1的对称点(k=2,3, ……)。
考察AjBjCjDj(j=1,2, ……)。试问:
(1)前12个四边形中,哪些必定与第1997个相似,哪些未必;
(2)假设第1997个是圆内接四边形,那么在前12个四边形中,哪些必定是圆内接四边形,哪些未必。
三、求证存在无穷多个正整数n,使得可将1,2,…,3n列成数表
  a1  a2  …  an
  b1  b2  …  bn
  c1  c2  …  cn
满足如下两个条件
(1) a1 + b1 + c1 = a2 + b2 + c2 = … = an + bn + cn 且为 6 的倍数;
(2) a1 + a2 + … + an = b1 + b2 + … bn = c1 + c2 + … + cn且为6的倍数。
四、四边形ABCD内接于圆,其边AB与DC的延长线交于点P,AD与BC的延长线交于点Q,过Q作该圆的两条切线QE和QF,切点分别为E、F。 求证:P、E、F三点共线。
五、设 A ={1,2,3,…,17},对于映射
f : A→A 记 f[1](x) = f(x), f[k+1](x) = f( fk(x) ) k ∈ N+
设从 A 到 A 的一一映射 f 满足条件:存在自然数 T,使得
(1)当 t < T, 1 ≤ i ≤ 16 时,有
f[t](i+1) - f[t](i) ±1(mod 17),f[t](1) - f[t](17) ±1(mod 17)
(2)当 1≤ i ≤ 16 时,有
f[T](i+1)+f[T](i) ≡ 1或-1 (mod 17),f[T](1) - f[T](17) ≡ 1或-1 (mod 17) 。
六、设非负数列 a1,a2,…… 满足条件 a(n+m) ≤ an + am ,m,n∈N
求证:对任意 n ≥ m 均有 an ≤ ma1 + ( n/m - 1 )am
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