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1998中国数学奥林匹克
第十三届全国中学生数学冬令营(广州)
一、在一个非钝角△ABC中,AB>BC,∠B=45o,O和I分别是△ABC的外心和内心,且√2·OI = AB - BC,求sin∠A.
二、对于给定的大于1的正整数n,是否存在2n个两两不同的正整数a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn ,同时满足以下两个条件:
(1)a1 + a2 + … + an = b1 + b2 + … + bn;
(2) n - 1 > ∑i from 1 to n( (ai-bi)/(ai+bi) ) > n - 1 - 1/1998
请说明理由.
三、设S={1,2,…,98},求最小自然数n,使得S的任一n元子集中都可以选出10个数,无论怎样将这10个数均分成两组,总有一组中存在一个数与另外4个数都互质,而另一组中总有一个数与另外4个数都不互质.
四、求所有大于3的自然数n,使得1+Cn1+Cn2+Cn3整除22000.
五、设D为锐角三角形ABC内部一点,且满足条件:DA·DB·AB+DB·DC·BC+DC·DA·CA=AB·BC·CA .试确定D点的几何位置,并证明你的结论.
六、设n≥2,x1,x2,…,xn均为实数,且 ∑i from 1 to n(xi2) + ∑i from 1 to (n - 1)(xixi+1) = 1 对于每一个固定的k(k∈N,1≤k≤n),求|xk|的最大值.
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