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2000中国数学奥林匹克
第十五届全国中学生数学冬令营()
一、设a、b、c为△ABC的三条边,a≤b≤c,R和r分别为△ABC的外接圆半径和内切圆半径. 令f=a+b-2R-2r,试用角C的大小来判定f 的符号.
二、数列{an}定义如下:a1=0,a2=1,an=(1/2)nan-11+(1/2)n(n-1)an-22+(-1)n(1-n/2),n≥3.
试求 fn=an+2Cn1an-11+3Cn2an-22+…+(n-1)Cnn-2-2a2+nCnn-1-1a1的最简表达式.
三、某乒乓俱乐部组织交流活动,安排符合以下规则的双打赛程表. 规则为:
  (i)每名参加者至多属于两个对子;
  (ii)任意两个不同对子之间至多进行一次双打;
  (iii)凡表中同属一对的两人就不在任何双打中作为对手相遇.
  统计各人参加的双打次数,约定将所有不同的次数组成的集合称为“赛次集”.
  给定由不同的正整数组成的集合A={a1,a2,…,ak},其中每个数都能被6整除. 试问最少必须有多少人参加活动,才可以安排符合上述规则的赛程表,使得相应的赛次集恰为A. 请证明你的结论.
四、设n≥2.对n元有序实数组A=(a1,a2,…,an),令bk=max1≤i≤k{ai},k=1,2,…,n.
  称B=(b1,b2,…,bn)为A的“创新数组”;称B中的不同元素个数为A的“创新阶数”.
  考察1,2,…,n的所有排列(将每种排列都视为一个有序数组),对其中创新阶数为2的所有排列,求它们的第一项的算术平均值.
五、若对正整数n,存在k,使得 n =n1n2…nk = 2t-1,t =(n1-1)(n2-1)…(nk-1)/2k,其中n1…,nk都是大于3的整数,则称n具有性质P. 求具有性质P的所有数n .
六、某次考试有5道选择题,每题都有4个不同答案供选择. 每人每题恰选1个答案. 在2000份答卷中发现存在一个n,使得任何n份答卷中都存在4份,其中每两份的答案都至多3题相同. 求n的最小可能值.
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