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2001中国数学奥林匹克
第十六届全国中学生数学冬令营 ()
一、给定 a ,√2 < a < 2, 内接于单位圆的凸四边形ABCD适合以下条件:
(1)圆心在这凸四边形内部;
(2) 最大边长是a , 最小边长是√(4-a2)
过点A、B、C、D依次作圆Γ的四条切线LA、LB、LC、LD。已知LA与LB、LB与LC、LC与LD、LD与LA分别相交于A' 、B' 、C' 、D' 四点。求面积之比 SA'B'C'D'/SABCD 的最大值与最小值。
二、设 X={1,2,3, … 2001}, 求最小的正整数m,适合要求:对X的任何一个m元子集W, 都存在 u、v ( u和v允许相同 ),使得u+v是2的方幂。
三、在正n边形的每个顶点上各停有一只喜鹊。偶受惊吓,众喜鹊都飞去。一段时间后,它们又都回到这些顶点上,仍是每个顶点上一只,但未必都回到原来的顶点。求所有正整数n,使得一定存在3只喜鹊,以它们前后所在的顶点分别形成的三角形或同为锐角三角形,或同为直角三角形,或同为钝角三角形。
四、设a, b, c, a+b-c, a+c-b, b+c-a, a+b+c是7个两两不同的质数, 且a, b, c中有两数之和是800。设d 是这7个质数中最大数与最小数之差。求d的最大可能值。
五、 将周长为24的圆周等分成24段。从24个分点中选取8个点,使得其中任何两点间所夹的弧长都不等于3和8。问满足要求的8点组的不同取法共有多少种?说明理由。
六、 记a=2001。设A是适合下列条件的正整数对(m,n)所组成的集合:
(1) m < 2a; (2) 2n | (2am-m2+n2);(3)n2-m2+2mn ≦ 2a(n-m)。
令 f = (2am-m2-mn)/n ,求 min(m,n)∈Af 和 max(m,n)∈Af 。
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