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2003中国数学奥林匹克
第十八届全国中学生数学冬令营 (长沙)
一、设点I、H分别为锐角三角形的内心和垂心,点B1、C1分别为边AC,AD的中点。已知射线B1I交边AB于点B2(B2≠B),射线C1I交AC的延长线于C2,B2C2与BC相交于K,A1为△BHC的外心。试证:A,I,A1三点共线的充分必要条件是△BKB2和△CKC2的面积相等。
二、求出同时满足如下条件的集合S的元素个数的最大值:
(1)S中的每个元素都是不超过100的正整数;
(2)对于S中任意两个不同的元素a,b,都存在S中的元素c,使得a与c的最大公约数等于1,并且b与c的最大公约数也等于1;
(3)对于S中任意两个不同的元素a,b,都存在S中异于a,b的元素d,使得a与d的最大公约数大于1,并且b与d 的最大公约数也大于1。
三、给定正整数n,求最小的正数λ,使得对于任何 θi∈(0,π/2),(i=1,2,3, ...n)
只要 tanθ1·tanθ2·...·tanθn= 2n/2 就有 cosθ1+ cosθ2+...+ cosθn 不大于λ。
四、求所有满足a≥2,m≥2的三元正整数组(a,m,n),使得an+2003是 am+1 的倍数。
五、 某公司需要录用一名秘书,共有10人报名,公司经理决定按照求职报名的顺序逐个面试,前三个人面试后一定不录用。自第4个人开始将他与前面面试过的人比较,如果他的能力超过了前面所有已面试过的人,就录用他;否则就不录用,继续面试下一个。如果前9个人都不录用,那么就录用最后一个面试的人。
假定这10个人的能力各不相同,可以按能力由强到弱排为第1,第2,…,第10.显然该公司到底录用到哪一个人,与这10个人报名的顺序有关。大家知道,这样的排列共有 10!种。我们以 Ak 表示能力第 k 的人能够被录用的不同报名顺序的数目, 以 Ak/10! 表示他被录用的可能性。
证明:在该公司经理的方针下,有
(1) A1 > A2 > … > A8 = A9 = A10
(2) 该公司有超过 70% 的可能性录用到能力最强的3个人之一,而只有不超过10%的可能性录用到能力最弱的3个人之一 。
六、 设a,b,c,d为正实数,满足ab+cd=1;点Pi(xi,yi)(i=1,2,3,4)是以原点为圆心的单位圆上的四个点。求证:
(ay1+by2+cy3+dy4)2 + (ax4+bx3+cx2+dx1)2 ≤ 2( (a2 + b2)/ab + (c2 + d 2)/cd )
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