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2004中国数学奥林匹克
第十九届全国中学生数学冬令营 (澳门)
一、凸四边形EFGH的顶点E,F,G,H分别在凸四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA上,满足 (AE/EB)(BF/FC)(CG/GD)(DH/HA) 而点A,B,C,D分别在凸四边形E1F1G1H1的边E1F1, F1G1, G1H1, H1E1上,满足E1F1∥EF,F1G1∥FG,G1H1∥GH,H1E1∥HE.已知 E1A/AH1=λ 求F1C/CG1的值.
二、 已知正整数c,设数列 {xn}满足:x1=c,且

其中[x]表示不大于x的最大整数.求数列{xn}的通项公式.
三、设 M 是平面上 n 个点组成的集合,满足:
(1)M中存在7个点,是一个凸七边形的7个顶点;
(2)M中任意5个点,若这5个点是一个凸五边形的5个顶点,则此凸五边形内部至少含有M中的一个点.
求 n 的最小值.
四、 给定实数a和正整数n,求证:
(1) 存在唯一的实数数列 x1 ,x2 ,… ,xn ,满足:

(2) (1)中的数列 x1 ,x2 ,… ,xn 满足 |xi| ≤ |a| ,(i=0,1,2, ... n+1).
五、给定正整数n≥2,设正整数 ai (i=1,2,3, ... n) 满足: a1≤ a2≤ ... ≤ an 以及 ≤1
求证:对任意实数x,有
六、 证明:除了有限个正整数外,其他的正整数n均可表示为2004个正整数之和 n = a1+ a2+ ... + a2004
且满足 1≤a1≤a2≤ ... ≤an ,ai|ai+1 (i=1,2, ... ,2003)
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