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2005中国数学奥林匹克
第二十届全国中学生数学冬令营

1、给定θi∈(-π/2,π/2),i=1,2,3,4。证明当且仅当 时,存在实数x同时满足两个不等式

2、 一个圆和△ABC的三条边分别相交于D1,D2;E1,E2;F1,F2。另外, 线段D1E1和线段D2F2相交于点L,线段E1F1和E2D2相交于点M, 线段F1D1和F2E2相交于N。证明三直线AL,BM,CN共点。

3、如图所示(图是由两个同心圆,n条一端点在圆心,一端点在大圆上的线段组成。注:看不懂就可通过下文来推敲)圆形的水池被分割为2n(n≥5)个"格子"。我们把有公共隔墙(公共边或公共弧)的"格子"称为相邻的,从而每个格子有三个邻格。水池中一共跳入4n+1只青蛙,青蛙难于安静共处,只要某个"格子"中有不少于3只青蛙,那么迟早一定会有3只分别跳往三个不同邻格。证明:只要经过一段时间之后,青蛙便会在水池中大致分布均匀。所谓大致分布均匀,就是任取其中一个"格子",或者它里面有青蛙,或者它的3个邻格均有青蛙。

4、已知数列 {an} 满足条件 a1=21/16,及2an-3an-1=3/2n+1(其中n>1)。
设m为正整数,m>1,m≥n,证明:[an+3/2n+3]1/m*[m-(2/3)n(m-1)/m]<(m2-1)/(m-n+1)。

5、在面积为1的矩形ABCD中(包括边界)有5个点,其中任意三点不共线。求以这5个点为顶点的所有三角形中,面积不大于1/4的三角形的个数的最小值。

6、求方程 2^x*3^y-5^z*7^w=1的所有非负整数解。

 
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